数学知识储备
向量
来自：02_Review Of Linear Algebra (yuque.com)
点乘
点乘在图形学中的应用
找到两个方向之间的夹角
找到一个向量投影到另一个向量上是哪样的
计算两个向量的方向(是接近还是远离)——向量相向还是远离
判定高光范围，从1(重合)-0(垂直)–1(完全远离)
关于前与后
叉乘
找到两个方向之间的夹角
判断向量a在向量b的左右
判断点在三角形的内侧还是外侧
应用案例
Unity精华☀️点乘、叉乘终极教程：用《小小梦魇》讲解这个面试题~-腾讯云开发者社区-腾讯云 (tencent.com)
矩阵
第二节总结
这节课主要是对线性代数中向量和矩阵的复习，总体来说难度不大。
1.向量主要是其点乘和叉乘的两种乘法。
- 点乘能够用于计算向量之间的投影和向量之间的夹角，能够判断两向量是否相近（菲涅尔效果）
- 而向量投影主要能测量两个方向的距离、分解向量以及确定向前/向后等，这些特性能够运用到确定直角坐标系上（即确定基坐标，就是确定一个基准的感觉）
- 叉乘能够用于确定向量之间的位置关系，左右、内外等。
- 确定内外在后续光栅化用的会很多，而确定左右的方向好像没有提及运用？？后续有涉及到的话在回来补坑。
2.矩阵则是其乘法计算的一些计算方法。
- 计算机的图形信息基本都是用矩阵存储的，信息与信息的计算后续也会涉及。这里闫老师主要是稍微复习了一下。
变换
2D（二维）变换
缩放变换中，没有平移，因此最后一列头两个数是00。
旋转变换中，平移和缩放同理。
平移变换中，没有经过线性变换，左上角是单位矩阵1001，有平移因此最后一列头两个数是tx ty。
3D变换
三维空间的变换，可以类比二维的。
注意区别，三维的点和向量增加一个数（升维）后，并不是四元数，四元数是专门用来表示旋转的。
- 再次使用齐次坐标
欧拉角
任意的一个旋转，都可以写成绕x、y、z旋转的组合。
三个轴旋转的旋转角，称为欧拉角。
四元数
四元数是为了给旋转做差值才引入的。
- 假设一个旋转矩阵是旋转15°，另一个是旋转25°。如果将两个矩阵加起来求平均，结果并不是20°。
- 这是因为旋转矩阵不适合做差值。
万向锁、欧拉角、四元数
Unity精华☀️一、从旋转到万向锁之：Unity的旋转-腾讯云开发者社区-腾讯云 (tencent.com)
Unity精华☀️二、到底是什么原因导致“万向锁”？旋转翻车的终极解析！-腾讯云开发者社区-腾讯云 (tencent.com)
Unity精华☀️三、四元数（Quaternion）解决万向锁-腾讯云开发者社区-腾讯云 (tencent.com)
第三节总结
今天讲的是各种变换，前面所有的变换都是以2D为例的，3D其实也是同理。
缩放、对称、旋转等这些变换，能够直接用矩阵乘以向量的形式表示，称为线性变换。
平移不能以矩阵乘以向量表示，并不是平移变换。其形式是矩阵乘以向量加上一个矩阵，可以称之为仿射变换。
如果将平移看作特殊的变化，那又太过麻烦。为了让所有的变换具有统一性，引入了齐次坐标的知识。
齐次坐标能够通过加一个数（升维）的方式，通过齐次坐标来表示仿射变换。其次坐标也可以表示线性变换。
因此，能够用齐次坐标的方式，将所有的变换转变成矩阵与向量的形式。
将单一的变换累加，就是组合变换。组合变换中，变换的顺序很重要。
在组合变换中发现，先将所有的变换矩阵相乘，还是能得到一个矩阵，这说明任何复杂的变换都能用一个矩阵来表示。
第四节总结
二维三维补充
今天先是对之前缩放、平移和旋转等这些变换在二维、三维上的一些补充。
二维
二维上是对旋转矩阵的补充。
- 求物体旋转-θ时的旋转矩阵，发现R-θ = Rθ-T
- 这里引出性质（理论上二维三维都通用）：在旋转里，旋转θ的旋转矩阵的转置 等于 旋转θ的旋转矩阵的逆。（数学上的正交矩阵）
三维
三维上时对缩放、平移和旋转变换的补充。
- 三维的缩放和平移变换很简单，原理和二维的一致。
- 三维的旋转变换，其会有绕x、y、z轴三个方向旋转的情况，对应的旋转矩阵都会不一样。
- x和z的旋转矩阵分析方法一致。
- 绕y轴的旋转矩阵比较特殊，其值是x 、y的旋转矩阵的负值。这是因为在右手系下，x叉乘y是-z。
- 此外，还提及了四元数。由于矩阵不适合做差值，因此会用四元数。
观测变换
课上的重点是观测变换。观测变换有模型、视图、投影三种（简称MVP变换）
个人理解模型变换像是“建模”这种，这里就不需要讨论。
视图变换
视图变换的主要原因是摄像机的摆放问题，抽象上来看，就是坐标系的建立和转换的问题。
- 通过定义，我们规定了一套标准的坐标系。但是摄像机自身的坐标系并不一定与标准坐标系重合，这个时候我们需要进行坐标系的转换（视图变换）。
- 视图变换时，要将视图（定义的摄像机的前后上下，原点，在Y上，看-Z）坐标轴通过平移、旋转等变换回到标准坐标系上。
- 视图坐标的X轴是通过y和z叉乘得到，要将一个叉乘旋转比较麻烦。因此可以反过来，让标准坐标系旋转到视图坐标系上。接着通过前面的正交矩阵性质（在旋转里，旋转θ的旋转矩阵的转置 等于 旋转θ的旋转矩阵的逆），能够求出旋转矩阵。
- 平移矩阵很简单，直接是原点的移动就可以得到
- 视图变换是先旋转，再平移。通过旋转矩阵和平移矩阵，就可以算出视图矩阵。
投影变换
投影变换是将三维的画面投影到一张二维图像上，有正交和透视两种方式。
正交变换
正交投影比较简单，平移变换加上缩放变换即可得到。同理正交矩阵也是通过平移矩阵和缩放矩阵就可以算出。
透视变换
透视投影比较复杂。
- 透视变换中为了不涉及坐标系之间的变换，引入了“挤压”的想法。透视投影做“挤压”投影，再做正交投影，就可以得到一张二维二维画像。
- “挤压”投影的“挤压”矩阵推导起来比较复杂，后半节课都在干这个事情。
- 总的来说，就是先利用相似三角形、变换点和原始点之间的关系和齐次方程的特性，得到出第三行以外的“挤压”矩阵值。
- 第三行通过观察到的两个信息（挤压时近平面和远平面点的关系），带入特殊值解方程推出来的。
- 算出“挤压”矩阵后，根据前面的正交矩阵，就能得到透视矩阵。
第五节总结
今天主要讲的是光栅化的知识。
在上节课中，通过观测变换（视图变换和投影变换），可以将三维的物体转化成二维的图像数据信息。
这节课就是需要将这个信息“画”出来，这就叫做光栅化。
理论上无论是怎样的图形，通过光栅化都能“画”在屏幕中。任何图形都可以分解成由三角形组成，因此课上主要以三角形为例，讲了三角形的光栅化。
三角形光栅化中，最简单的方式就是采样。采样简单来说就是通过一个函数，将图形的位置信息传入，即可得到函数值，这个函数值个人理解就是在计算机中用于“画”的像素信息。
但在实际应用中，光栅化会出现锯齿、走样的问题，下节课的主要目的，就是抗锯齿、防走样。
第六节总结
前提：图形学中将一幅图像看成一个二维函数。
频率、频谱
频率用来表示波变化的快慢。
一个函数（图像）经过傅里叶变换后，能够得到其频谱。
- 函数f通过变换能够变成另一个函数F，f通过逆变换也能够变回F。变换过程就叫做傅里叶变换或逆傅里叶变换。
- 频谱是图像（信号）在不同频率的样子，是频率的分布曲线。
- 在频谱中，每间隔一段就取一个数据点，这个取点的过程叫做采样。
- 同样的一个采样方法，采用两种不同的频率的函数得到的结果，我们无法区分它们，这叫做走样
滤波
将某一范围内的特定频率去掉的过程称为滤波。
个人理解滤波其实就是一个函数，将图像（信号、函数）与这个滤波函数叠加，就能实现实现滤波的效果。
高通滤波就是能够去掉低频频段的函数（信号）。图像增加高频滤波后，图像边界将变得明显。
同理，低通滤波就是去掉高频频段的函数（信号）。
除此之外还有一些特定频段的滤波。图像增加低频滤波后，图像将变得模糊。
卷积
卷积在图形学中就是加权求平均。
卷积操作就是一个低通滤波器。
- 将某一种滤波作用在一个信号上，进行卷积操作（点乘加权平均），得到一个新的信号。
- 这是图形学简化后的定义，不是数学上的定义
卷积定理主要是证明了时域的卷积 = 频域的乘积，反之亦然。
- 从例子上看，就是一个图像进行卷积操作后得到新的图像，在频域中就是一个频谱乘以卷积操作的频域得到一个新的频谱。
卷积盒可以看作是一个滤波器。
- 卷积盒box越大，边界越少，图像信息越来越少，图像越来越模糊。
频域中的定义
采样在频域中就是将频谱复制粘贴。
- 时域上函数相乘变成一系列的点。
- 对应到频域上，就是把原始的函数的频谱复制粘贴。
复制粘贴的频谱之间的间隔越小，频谱重叠在了一起（信号混在了一起）就是走样。
采样的越稀疏，采样的频率越小，对应频谱上就越密集（时域上的信号就会叠在一起）。
反走样
在采样之前做一个模糊（滤波）可以达到反走样的效果。
- 需要模糊的话需要做低通滤波。去掉高频，在频域的体现就是频谱覆盖的面会小，防止频谱重叠。
MSAA、FXAA和TAA都是做模糊一些技术。
- MSAA是增加像素的采样点，近似合理的覆盖率，从而达到模糊的效果。
- FXAA则是先采样，形成图像后，再利用图像匹配找到锯齿的部分，模糊处理后替换锯齿部分（但是会违背采样之前做一个模糊的理论，这样达不到很好的效果，优点是很快）
- TAA则是会复用上一帧的感知结果，相当于将MSAA的样本分布在时间上。
第七节总结
本节课讲的东西比起前面来说，难度直线下降！
今天主要讲着色，讲着色前补充了前面光栅化深度缓存的知识。
光栅化内容中，首先讲解了画家算法的思想。由于画家算法无法很好的满足计算机图形学的需求，因此引入深度缓存的概念。
- 每个导出的图像都有一张对应的深度图，这个深度图记录着所有像素的深度信息。
- 此外还讲了深度缓存算法的实现方法，其本质就是一个双重循环。
着色部分通过Blinn-Phong反色模型引入漫反射、高光等显示中光照的效果情况。
- 主要讲了物体漫反射中，光的能量问题。
- 着色点平面与光发现的角度可以得到着色点对光能量接收的情况。
- 光源与物体的距离可以得到着色点处光能量的发射状况。
- 通过光能量的接收和发射状况，我们就可以量化漫反射的能量。
